ОТГАДКИ НА ЗАГАДКИ

1. Маленький Гаусс Требуется найти сумму цифр чисел 1, 2, 3, 4, …, 999 999 998, 999 999 999, 1 000 000 000. Надо сгруппировать числа парами: 999 999 999 и 0;

999 999 998 и 1; 999 999 997 и 2 и т.д. Пар будет полмиллиарда (500 000 000), а сумма цифр в каждой паре 81. Последнее число 1 000 000 000 — не имеет пары, и сумма его цифр равна 1. Искомая сумма цифр равна (500 000 000х81)+1=40 500 000 001.

2. Полотна художника Алгебраическое решение задачи приводит к неопределенному уравнению с двумя неизвестными. В самом деле, пусть размеры искомого прямоугольника x и y. Тогда его периметр равен 2(x+y), а площадь — xy.

По условию, 2(x+y)= xy.

Если x и y не обязательно целые, то это уравнение имеет бесчисленное множество решений, но в целых числах оно, как это следует из рассуждений нашей школьницы, имеет только три решения:

x=4, y=4 x=6, y=3 x=3, y=6 В геометрическом смысле последние два решения тождественны.

3. На пружинных весах Надо подвесить груз на крючки четырех пружинных весов. Каждый из крючков воспримет на себя определенную часть веса бруса. Сумма показаний всех весов даст вес бруса.

4. Какой ящик тяжелее?

Так как оба ящика имеют форму куба, то в одном ящике будут укладываться три шара в ряд, а в другом — 4. Одинаковые ящики имеют равные ребра, следовательно, диаметр большего шара больше диаметра меньшего шара в 4/3 раза, а объем и вес больше в 64/27 раза (так как объем, а также и вес шара пропорциональны кубу его диаметра).

Итак, каждый большой шар должен быть тяжелее меньшего шара в 64/27 раза, но зато больших шаров в 64/27 раза меньше, чем меньших шаров в таком ящике.

Отсюда и получается, что оба ящика весят одинаково.

5. Банка с дробью Мы налили полную банку воды. Вода заполнила все промежутки между дробинками.

Теперь объем воды вместе с объемом свинца составил объем банки.

Вынув свинец из банки, мы определили объем воды, оставшейся в банке, и вычитанием воды из объема банки определили объем свинца.